P3232 [HNOI2013]游走

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期望问题经典题。

题面

P3232 [HNOI2013]游走

Solution

对于每一条边，我们经过它时有两种情况：

  1. 从 $u$ 点出发，经过的概率为 $\frac{1}{deg_u}$ 。
  2. 从 $v$ 点出发，经过的概率为 $\frac{1}{deg_v}$ 。

我们设 $E(u)$ 表示点 $u$ 的期望经过次数， $E^{‘}(u,v)$ 表示 $(u,v)$ 这条边的期望经过次数，则 $E^{‘}(u,v)=\frac{E_u}{deg_u}+\frac{E(v)}{deg_v}$ 。

考虑怎么求 $E(u)$ 。

因为到 $n$ 号点时停止游走，所以有 $E(n)=0$ 。

同时，我们有转移方程：

列出方程组，然后高斯消元即可。

要使答案最小，根据排序不等式，我们用最小的去匹配最大即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN = 5e3+5;
int n,m,u,v,head[MAXN],num_edge,cnt,deg[MAXN];
double val[MAXN][MAXN],E[MAXN],ans,epts=1e-7;
struct Node{
	int u,v;
	double E;
	bool operator <(const Node &t) const{
		return E>t.E;
	}
}node[MAXN*MAXN];
struct Edge{
	int next,to;
}edge[MAXN*MAXN];
il add_edge(int u,int v){
	edge[++num_edge]=(Edge){head[u],v},head[u]=num_edge,++deg[u];
	edge[++num_edge]=(Edge){head[v],u},head[v]=num_edge,++deg[v];
	node[++cnt]=(Node){u,v,0};
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m);
	for(ri i=1;i<=m;++i)
		read(u),read(v),add_edge(u,v);
	for(ri i=1;i<n;++i){
		val[i][i]-=1.;
		for(ri j=head[i];j;j=edge[j].next)
			if(edge[j].to!=n)
				val[i][edge[j].to]=1./deg[edge[j].to];
	}
	val[1][n]=-1.;
	for(ri i=1;i<n;++i){
		int mx=i;
		for(ri j=i+1;j<n;++j)
			if(fabs(val[j][i])>fabs(val[mx][i]))
				mx=j;
		if(mx!=i) swap(val[i],val[mx]);
		if(fabs(val[i][i])<epts) continue;
		for(ri j=1;j<=n;++j) if(j!=i){
			double div=val[j][i]/val[i][i];
			for(ri k=i+1;k<=n;++k)
				val[j][k]-=val[i][k]*div;
		}
	}
	for(ri i=1;i<n;++i)
		E[i]=val[i][n]/val[i][i];
	for(ri i=1;i<=m;++i){
		int u=node[i].u,v=node[i].v;
		node[i].E=E[u]/deg[u]+E[v]/deg[v];
	}
	sort(node+1,node+1+m);
	for(ri i=1;i<=m;++i)
		ans+=i*node[i].E;
	printf("%.3f",ans);
	return 0;
}